| บทคัดย่อ |
ในงานวิจัยนี้มีจุดหมายเพื่อสร้างเมทริกซ์จาคอปส์ขนาด \(3 \times 3\) ที่มีความสัมพันธ์กับลำดับ จาคอปส์ธาล และศึกษาสมบัติบางประการของจำนวนจาคอปส์ธาลที่มีความสัมพันธ์กับค่าเฉพาะเมทริกซ์จาคอปส์ธาลขนาด \(3 \times 3\) ผลจากการวิจัยพบว่า สามารถสร้างเมทริกซ์จาคอปส์ธาล
\({\rm{M}}\,\,{\rm{ = }}\)\(\left[ {\begin{array}{*{20}{r}}{\rm{1}}&{\rm{2}}&{\rm{0}}\\{\rm{1}}&{\rm{0}}&{\rm{1}}\\{\rm{0}}&{\rm{0}}&{\rm{1}}\end{array}} \right]\) ซึ่งมีค่าเฉพาะ \({\delta _1}\,\,\, = \,\,\,1\), \({\delta _2}\,\,\, = \,\,\, - 1\), \({\delta _3}\,\,\, = \,\,\,2\) สัมพันธ์กับจำนวนจาคอปส์ธาล
คือ ถ้า \({\mathop{\rm n}\nolimits} \) เป็นจำนวนเต็มคู่ แล้วจะได้ว่า \(\frac{{\rm{1}}}{{\rm{3}}}\left( {{{\rm{J}}_{{\rm{n + 1}}}} - {\rm{2}}{{\rm{J}}_{\rm{n}}}} \right) - \frac{{\rm{2}}}{{\rm{3}}}\left( {{{\rm{J}}_{\rm{n}}} - {\rm{2}}{{\rm{J}}_{{\rm{n - 1}}}}} \right)\,\,{\rm{ = }}\,\,1\)
ถ้า \({\mathop{\rm n}\nolimits} \) เป็นจำนวนเต็มคี่ แล้วจะได้ว่า \(\frac{{\rm{1}}}{{\rm{3}}}\left( {{{\rm{J}}_{{\rm{n + 1}}}} - {\rm{2}}{{\rm{J}}_{\rm{n}}}} \right) - \frac{{\rm{2}}}{{\rm{3}}}\left( {{{\rm{J}}_{\rm{n}}} - {\rm{2}}{{\rm{J}}_{{\rm{n - 1}}}}} \right)\,\,{\rm{ = }}\,\, - 1\) และ
ถ้า \({\mathop{\rm n}\nolimits} \) เป็นจำนวนเต็มใด ๆ แล้วจะได้ว่า \(\frac{{\rm{1}}}{{\rm{3}}}\left[ {{{\rm{J}}_{{\rm{n + 3}}}} + {{\rm{J}}_{\rm{n}}}} \right]\)\({\rm{ = }}\,\,{{\rm{2}}^{\rm{n}}}\)
This study aimed to generate the matrix of \(3 \times 3\) dimensions relating with Jacobsthal sequences and to focused on some properties of its related with the eigenvalues ofJacobsthal’smatrixof \(3 \times 3\). The study found that the matrix
\({\rm{M}}\,\,{\rm{ = }}\)\(\left[ {\begin{array}{*{20}{r}}{\rm{1}}&{\rm{2}}&{\rm{0}}\\{\rm{1}}&{\rm{0}}&{\rm{1}}\\{\rm{0}}&{\rm{0}}&{\rm{1}}\end{array}} \right]\) leads to some of the properties of Jacobsthal numbers, which are introduced to show the relation with the eigenvalues \({\delta _1}\,\,\, = \,\,\,1\), \({\delta _2}\,\,\, = \,\,\, - 1\) and \({\delta _3}\,\,\, = \,\,\,2\) of \({\rm{M}}\) the first time in this paper:
If \({\mathop{\rm n}\nolimits} \) be positive integers then \(\frac{{\rm{1}}}{{\rm{3}}}\left[ {{{\rm{J}}_{{\rm{n + 3}}}} + {{\rm{J}}_{\rm{n}}}} \right]\)\({\rm{ = }}\,\,{{\rm{2}}^{\rm{n}}}\),
If \({\mathop{\rm n}\nolimits} \) be odd then\(\frac{{\rm{1}}}{{\rm{3}}}\left( {{{\rm{J}}_{{\rm{n + 1}}}} - {\rm{2}}{{\rm{J}}_{\rm{n}}}} \right) - \frac{{\rm{2}}}{{\rm{3}}}\left( {{{\rm{J}}_{\rm{n}}} - {\rm{2}}{{\rm{J}}_{{\rm{n - 1}}}}} \right)\)\({\rm{ = }}\,\, - 1\), and
if \({\mathop{\rm n}\nolimits} \) be even then \(\frac{{\rm{1}}}{{\rm{3}}}\left( {{{\rm{J}}_{{\rm{n + 1}}}} - {\rm{2}}{{\rm{J}}_{\rm{n}}}} \right) - \frac{{\rm{2}}}{{\rm{3}}}\left( {{{\rm{J}}_{\rm{n}}} - {\rm{2}}{{\rm{J}}_{{\rm{n - 1}}}}} \right)\)\({\rm{ = }}\,\,1\).
|
|---|
